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🧮 Los Horrores de la Simplificación

Se presenta el siguiente problema:

$$ \frac{x}{x+2} $$

Los errores más comunes, mejor dicho HORRORES, que cometen la mayoría de los estudiantes que están ingresando a la universidad son los siguientes:


  1. El que cree que todo se tacha:

    $$\require{cancel} \frac{x}{x+2} = \frac{\cancel{x}^{1}}{\cancel{x}+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} \quad \text{(¡ERROR!)}$$

  2. El que hace desaparecer términos:

    $$\require{cancel} \frac{x}{x+2} = \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}+2} = 2 \quad \text{(¡ESTO NO EXISTE!)}$$

  3. El que inventa un cero:

    $$\require{cancel} \frac{x}{x+2} = \frac{\cancel{x}}{\cancel{x}+2} = \frac{0}{0+2} = 0 \quad \text{(¡CUIDADO!)}$$

Debemos preguntarnos entonces, ¿por qué ocurre esto? Quizás debamos repasar algunos conceptos que inducen a este tipo de errores. Nada más rápido que revolver los conocimientos previos para entender por qué está realmente mal hacer eso.


Primero, ¿cómo se suman (o restan) fracciones?


Hay varios métodos, pero el más interesante es el de las fracciones equivalentes.

$$ \frac{1}{3}+\frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9}+\frac{2}{9} = \frac{5}{9} $$

La idea es lograr que tengan el mismo denominador para operar de forma directa. También está el método de multiplicar cruzado:

$$ \frac{1}{3}+\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 3 \cdot 2}{3 \cdot 9} = \frac{15}{27} = \frac{5}{9} $$

No está mal, pero a veces obtienes números muy grandes y te obliga a simplificar al final para llegar a la fracción irreducible. ¡La idea es evitar usar la calculadora si se puede!


¿Se puede simplificar antes de operar?


$$ \frac{25}{10} + \frac{30}{50} = \frac{25:5}{10:5} + \frac{30:10}{50:10} = \frac{5}{2} + \frac{3}{5} $$

Sí y no. En este ejemplo pudimos simplificar porque las fracciones individualmente no eran irreducibles. Siempre simplificamos dividiendo numerador y denominador por el mismo número.


¿Cómo multiplicamos fracciones? (Aquí está el secreto)


$$ \frac{25}{10} \cdot \frac{100}{50} = \frac{1}{10} \cdot \frac{100}{2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{2} = 5 $$

En el producto, por la propiedad conmutativa, podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador.


O sea, si tengo esto:

$$\require{cancel} \frac{100 \cdot 33}{66} = \frac{100 \cdot \cancel{33}^{1}}{\cancel{66}_{2}} = \frac{100}{2} = 50 \quad \text{(¡SÍ SE PUEDE!)}$$

Pero... ¿qué pasa si es una suma?

$$\require{cancel} \frac{100 + 33}{66} = \frac{100 + \cancel{33}^{1}}{\cancel{66}_{2}} = \frac{101}{2} = 50,5 \quad \text{(¡UN NO ROTUNDO!)}$$

Si lo resolvemos correctamente sumando primero:

$$ \frac{100 + 33}{66} = \frac{133}{66} \approx 2,015 $$

Como ves, los resultados son totalmente distintos. No se puede simplificar cuando hay sumas o restas de por medio.


¿Y la distributiva?


¿Se puede distribuir el denominador? SÍ.

$$ \frac{100+33}{66} = \frac{100}{66} + \frac{33}{66} $$

Esto es útil a veces para simplificar cada término por separado.


¿Se puede distribuir el numerador? ¡JAMÁS!

$$ \frac{5}{10+25} \neq \frac{5}{10} + \frac{5}{25} $$

Hacer eso te daría $7/10$, cuando el resultado real es $5/35 = 1/7$.


Respondiendo al problema inicial:


$$ \frac{x}{x+2} = \frac{x}{x+2} $$

No se puede simplificar. Se queda exactamente así. Si la expresión fuera al revés ($\frac{x+2}{x}$), podrías distribuir el denominador, pero en el problema planteado, la $x$ de arriba está "atrapada" por la suma de abajo.


La matemática tiene reglas claras, y saltárselas por querer hacer las cosas más rápido siempre sale caro. La próxima vez que vean una suma en un denominador, ¿se van a acordar de esta $x$ atrapada antes de tachar? Espero que la respuesta sea un sí rotundo.


Gabii

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