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Si el binomio está al cuadrado, presentamos dos formas posibles de resolución.

1º FORMA: Mediante la fórmula del cuadrado de un binomio. Si tenés buena memoria, sirve.

$$\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x)^{2} + 2 \cdot 2x \cdot (-y) + (-y)^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 2^{2} \cdot x^{2} - 4xy + (-1)^{2} \cdot y^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}$$

En algunos libros, aparecen dos fórmulas que se deducen de una sola. ¿Para qué estudiar dos fórmulas cuando se puede estudiar una sola? Claramente vamos por la primera.

$$ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $$

$$ (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} $$

¿Alguna vez te preguntaste por qué la fórmula es así?

Te dejo la demostración que no es nada del otro mundo.

$$\begin{array}{l l}(a+b)^{2} & \text{por definición de potencia} \\(a+b) \cdot (a+b) & \text{por prop. distributiva del producto con respecto a la suma} \\a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \qquad & \text{por prop. conmutativa del producto} \\a^{2} + ab + ab + b^{2} & \text{por suma de términos semejantes} \\a^{2} + 2ab + b^{2} & \text{que es lo que queríamos demostrar}\end{array}$$

De forma análoga se demuestra la fórmula

$$ (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} $$

Pero esta demostración da pie, a una nueva forma de resolver este problema.

2º FORMA: Mediante la definición de potencia. ¿Para qué estudiar fórmulas si puedo razonar?

$$\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x-y)\cdot(2x-y) \\(2x-y)^{2} &= (2x)\cdot(2x)+2x\cdot(-y)+(-y)\cdot(2x)+(-y)\cdot(-y) \\ (2x-y)^{2} &=4x^{2} -2xy-2xy + y^{2}  \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}$$

Claramente no es el fuerte de muchos estudiar fórmulas. Lo interesante de este método es que sirve para cualquier potencia.

Por ejemplo, si tengo:

$$ \begin{aligned} (a+b)^{3} &= (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b) \\ (a+b)^{4} &= (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b) \cdot (a+b) \end{aligned} $$

Aunque puede resultar un poco más trabajoso, la pregunta es: ¿Cuál conviene usar?

Por otro lado, ¿qué pasaría si necesito el valor exacto y no tengo una buena calculadora?

Observa este ejemplo. Claramente me fui a lo más fácil, pero quizás podrías resolverlo de otra forma.

$$\begin{aligned} (\sqrt{2}-4)^{2} &= (\sqrt{2})^{2} + 2 \cdot \sqrt{2}\cdot (-4)+(-4)^{2} \\(\sqrt{2}-4)^{2} &=2 -8\sqrt{2} + 16 \\ (\sqrt{2}-4)^{2} &= 18-8\sqrt{2} \end{aligned}$$

Un futuro ingeniero no puede dar resultados expresados en decimales. ¡Se nos cae el puente! Hay que trabajar con valores exactos.

Pero OJO, no mecanicemos, porque a veces las cosas salen más fácil de lo que uno cree.

Ejemplo 1:

$$\begin{aligned} (-3x+8x)^{2} &=(5x)^{2}  \\(-3x+8x)^{2} &=5^{2} \cdot x^{2} \\ (-3x+8x)^{2} &= 25x^{2} \end{aligned}$$

Ejemplo 2:

$$\begin{aligned} (3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=(3\sqrt{2}+4 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2})^{2}  \\(3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=(3\sqrt{2}+4 \cdot 2 \cdot\sqrt{2})^{2} \\ (3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=(3\sqrt{2}+8\sqrt{2})^{2}\\(3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=(11\sqrt{2})^{2} \\(3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=11^{2} \cdot(\sqrt{2})^{2}\\(3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=121 \cdot 2 \\(3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &=242 \end{aligned}$$

Simplemente con un par de propiedades esquivamos estos mecanismos de resolución.

A partir de hoy, entendemos por qué esto que se muestra a continuación está mal y que no existe una única manera de resolver las cosas.