Gabii: 🧮 El Dilema del Cuadrado de un Binomio

🧮 El Dilema del Cuadrado de un Binomio

Se presenta el siguiente problema y, como suele pasar en los parciales más exigentes, no tenemos calculadora para resolverlo:

(2^{\frac{3}{2}}-\sqrt{2})^{2} = ?

(2^{\frac{3}{2}}-\sqrt{2})^{2} = ?

Para encararlo, primero debemos recordar dos conceptos básicos:

Términos: Las sumas y restas son las que nos ayudan a separar expresiones.
Binomio: Es simplemente una expresión formada por dos términos.

Si tenemos un binomio elevado al cuadrado, existen dos caminos posibles para llegar al resultado.

1° FORMA: El camino de la memoria (Fórmula)

Si tenés buena memoria, esta opción es muy rápida. Aplicamos la fórmula del cuadrado de un binomio:

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

En algunos libros aparecen dos fórmulas distintas (una para la suma y otra para la resta). Pero, ¿para qué estudiar dos cosas cuando se puede aprender una sola? Si usamos la fórmula general y respetamos los signos de cada término, sale solo. Por ejemplo:

\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x)^{2} + 2 \cdot (2x) \cdot (-y) + (-y)^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}

\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x)^{2} + 2 \cdot (2x) \cdot (-y) + (-y)^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}

¿Alguna vez te preguntaste de dónde sale esta fórmula?

Aquí tenés la demostración, que no es nada del otro mundo:

\begin{array}{l l} (a+b)^{2} & \text{Por definición de potencia:} \\ (a+b) \cdot (a+b) & \text{Aplicamos propiedad distributiva:} \\ a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \quad & \text{Por propiedad conmutativa ($ab = ba$):} \\ a^{2} + ab + ab + b^{2} & \text{Sumamos términos semejantes:} \\ a^{2} + 2ab + b^{2} & \text{¡Llegamos a la fórmula!} \end{array}

\begin{array}{l l} (a+b)^{2} & \text{Por definición de potencia:} \\ (a+b) \cdot (a+b) & \text{Aplicamos propiedad distributiva:} \\ a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \quad & \text{Por propiedad conmutativa ($ab = ba$):} \\ a^{2} + ab + ab + b^{2} & \text{Sumamos términos semejantes:} \\ a^{2} + 2ab + b^{2} & \text{¡Llegamos a la fórmula!} \end{array}

2° FORMA: El camino del razonamiento (Definición)

¿Para qué forzar la memoria si podemos razonar? Esta forma consiste en aplicar directamente la definición de potencia: elevar al cuadrado es multiplicar algo por sí mismo.

\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x-y) \cdot (2x-y) \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 2xy - 2xy + y^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}

Lo interesante de este método es que es universal. Sirve para cualquier potencia, sea un cubo $(a+b)^3$ o potencias superiores, aunque sea un poco más trabajoso.

La importancia del valor exacto

¿Qué pasaría si necesitás el valor exacto y no tenés una buena calculadora a mano? Observá este ejemplo:

\begin{aligned} (\sqrt{2}-4)^{2} &= (\sqrt{2})^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (-4) + (-4)^{2} \\ (\sqrt{2}-4)^{2} &= 2 - 8\sqrt{2} + 16 \\ (\sqrt{2}-4)^{2} &= 18 - 8\sqrt{2} \end{aligned}

Un futuro ingeniero no puede dar resultados expresados en decimales. ¡Se nos cae el puente! Hay que aprender a trabajar con valores exactos y radicales.

¡Pero OJO! No mecanicemos

A veces, las cosas son más fáciles de lo que parecen si nos detenemos a observar antes de aplicar una fórmula a ciegas.

Ejemplo 1 (Términos semejantes):

(-3x+8x)^{2} = (5x)^{2} = 25x^{2}

(¿Para qué aplicar la fórmula larga si podemos sumar los términos primero?)

Ejemplo 2 (Extracción de radicales):

\begin{aligned} (3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &= (3\sqrt{2} + 4 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2})^{2} \\ &= (3\sqrt{2} + 8\sqrt{2})^{2} \\ &= (11\sqrt{2})^{2} \\ &= 121 \cdot 2 = 242 \end{aligned}

Simplemente usando un par de propiedades, esquivamos procesos largos y evitamos errores innecesarios.

Conclusión

A partir de hoy, ya sabemos por qué la famosa "distribución del cuadrado" es un error:

(x+z)^2 \neq x^2 + z^2

(x+z)^2 \neq x^2 + z^2

Existen varios caminos (fórmula o definición) y la elección depende de la situación. Pero queda una pregunta picante para seguir pensando: ¿Será verdad que para cualquier tipo de elemento matemático (matrices, funciones, etc.) vale la igualdad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ?

Ésta y otras preguntas irán surgiendo a lo largo de este camino.

Gabii

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*Recuerda que se usa una única vez por cuenta. Válido para cualquier modalidad.

Se presenta el siguiente problema y, como suele pasar en los parciales más exigentes, no tenemos calculadora para resolverlo:

(2^{\frac{3}{2}}-\sqrt{2})^{2} = ?

(2^{\frac{3}{2}}-\sqrt{2})^{2} = ?

Para encararlo, primero debemos recordar dos conceptos básicos:

Términos: Las sumas y restas son las que nos ayudan a separar expresiones.
Binomio: Es simplemente una expresión formada por dos términos.

Si tenemos un binomio elevado al cuadrado, existen dos caminos posibles para llegar al resultado.

1° FORMA: El camino de la memoria (Fórmula)

Si tenés buena memoria, esta opción es muy rápida. Aplicamos la fórmula del cuadrado de un binomio:

(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}

\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x)^{2} + 2 \cdot (2x) \cdot (-y) + (-y)^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}

\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x)^{2} + 2 \cdot (2x) \cdot (-y) + (-y)^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}

¿Alguna vez te preguntaste de dónde sale esta fórmula?

Aquí tenés la demostración, que no es nada del otro mundo:

\begin{array}{l l} (a+b)^{2} & \text{Por definición de potencia:} \\ (a+b) \cdot (a+b) & \text{Aplicamos propiedad distributiva:} \\ a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \quad & \text{Por propiedad conmutativa ($ab = ba$):} \\ a^{2} + ab + ab + b^{2} & \text{Sumamos términos semejantes:} \\ a^{2} + 2ab + b^{2} & \text{¡Llegamos a la fórmula!} \end{array}

\begin{array}{l l} (a+b)^{2} & \text{Por definición de potencia:} \\ (a+b) \cdot (a+b) & \text{Aplicamos propiedad distributiva:} \\ a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \quad & \text{Por propiedad conmutativa ($ab = ba$):} \\ a^{2} + ab + ab + b^{2} & \text{Sumamos términos semejantes:} \\ a^{2} + 2ab + b^{2} & \text{¡Llegamos a la fórmula!} \end{array}

2° FORMA: El camino del razonamiento (Definición)

¿Para qué forzar la memoria si podemos razonar? Esta forma consiste en aplicar directamente la definición de potencia: elevar al cuadrado es multiplicar algo por sí mismo.

\begin{aligned} (2x-y)^{2} &= (2x-y) \cdot (2x-y) \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 2xy - 2xy + y^{2} \\ (2x-y)^{2} &= 4x^{2} - 4xy + y^{2} \end{aligned}

Lo interesante de este método es que es universal. Sirve para cualquier potencia, sea un cubo $(a+b)^3$ o potencias superiores, aunque sea un poco más trabajoso.

La importancia del valor exacto

¿Qué pasaría si necesitás el valor exacto y no tenés una buena calculadora a mano? Observá este ejemplo:

\begin{aligned} (\sqrt{2}-4)^{2} &= (\sqrt{2})^{2} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (-4) + (-4)^{2} \\ (\sqrt{2}-4)^{2} &= 2 - 8\sqrt{2} + 16 \\ (\sqrt{2}-4)^{2} &= 18 - 8\sqrt{2} \end{aligned}

Un futuro ingeniero no puede dar resultados expresados en decimales. ¡Se nos cae el puente! Hay que aprender a trabajar con valores exactos y radicales.

¡Pero OJO! No mecanicemos

A veces, las cosas son más fáciles de lo que parecen si nos detenemos a observar antes de aplicar una fórmula a ciegas.

Ejemplo 1 (Términos semejantes):

(-3x+8x)^{2} = (5x)^{2} = 25x^{2}

(¿Para qué aplicar la fórmula larga si podemos sumar los términos primero?)

Ejemplo 2 (Extracción de radicales):

\begin{aligned} (3\sqrt{2}+4\sqrt{8})^{2} &= (3\sqrt{2} + 4 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2})^{2} \\ &= (3\sqrt{2} + 8\sqrt{2})^{2} \\ &= (11\sqrt{2})^{2} \\ &= 121 \cdot 2 = 242 \end{aligned}

Simplemente usando un par de propiedades, esquivamos procesos largos y evitamos errores innecesarios.

Conclusión

A partir de hoy, ya sabemos por qué la famosa "distribución del cuadrado" es un error:

(x+z)^2 \neq x^2 + z^2

(x+z)^2 \neq x^2 + z^2

Ésta y otras preguntas irán surgiendo a lo largo de este camino.

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1° FORMA: El camino de la memoria (Fórmula)

2° FORMA: El camino del razonamiento (Definición)

La importancia del valor exacto

¡Pero OJO! No mecanicemos

Conclusión

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1° FORMA: El camino de la memoria (Fórmula)

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