⚡ GUÍA DE PODER DE LAS DERIVADAS ⚡
Para evitar el tedioso proceso de usar la definición por límite, existen reglas directas para derivar cualquier función. Piensa en la derivada como un "combo" que transforma una función original $f(x)$ en su evolución: la derivada $f'(x)$. ¡Aquí tienes el manual de instrucciones!
⚙️ NIVEL I: EL ARSENAL BÁSICO
Funciones Polinómicas (El salto del exponente)
La Regla: El exponente salta hacia adelante a multiplicar, y le restamos "una vida" (un 1) al exponente original.
$$ f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$Ejemplos:
Derivar $f(x) = x^7$
$f'(x) = 7 \cdot x^{7-1} \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = 7x^6}$Derivar $f(x) = 2x$
Recordemos que $x = x^1$.
$f'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = 2}$
Truco: La derivada de $ax$ es siempre $a$.
Derivada de una Constante (El Destructor)
La Regla: Cualquier número suelto (sin $x$) es una constante. ¡Su derivada siempre es cero!
$$ f(x) = a \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0 $$Ejemplo:
Derivar $f(x) = -4 \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = 0}$
🎭 NIVEL II: EL TRUCO DEL DISFRAZ
Podemos derivar funciones feas transformándolas primero a la forma de potencia $x^n$ usando propiedades.
Caso 1: Las Raíces (Exponente Fraccionario)
Derivar $f(x) = \sqrt[3]{x}$
Disfrazamos: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$
Derivamos: $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
Ordenamos: $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}$
Caso 2: Variables en el Sótano (Exponente Negativo)
Derivar $f(x) = \frac{1}{x^3}$
Disfrazamos (lo subimos): $f(x) = x^{-3}$
Derivamos: $f'(x) = (-3) \cdot x^{-3 - 1} = -3x^{-4}$
Ordenamos: $f'(x) = -3 \cdot \frac{1}{x^4} \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = \frac{-3}{x^4}}$
📖 NIVEL III: CATÁLOGO DE DERIVADAS DIRECTAS
A veces no hay que calcular, solo memorizar en qué se transforma cada función especial.
Funciones Trigonométricas:
$f(x) = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cos(x)$
$f(x) = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -\sin(x)$
$f(x) = \tan(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$
Funciones Exponenciales y Logarítmicas:
$f(x) = a^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$
$f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = e^x}$ (¡Es inmune!)
$f(x) = \log_a(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$
$f(x) = \ln(x) \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = \frac{1}{x}}$
Funciones Trigonométricas Inversas:
$f(x) = \arcsin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$f(x) = \arccos(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$f(x) = \arctan(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
⚔️️ NIVEL IV: OPERACIONES CON DERIVADAS
Constante por Función
Si un número multiplica a una función, la constante espera afuera tranquila mientras derivas la función.
$[k \cdot f(x)]' = k \cdot f'(x)$
Derivar $f(x) = 5\ln(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} = \boxed{\frac{5}{x}}$
Suma y Resta (Vía Libre)
Deriva término a término sin problema.
$(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)$
Derivar $f(x) = 3x^2 - 6x + \cos(x) - \ln(x)$
$f'(x) = 3(2x) - 6(1) + (-\sin(x)) - \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = 6x - 6 - \sin(x) - \frac{1}{x}}$
El Producto (La Regla del Saludo)
La Regla: La derivada de la primera por la segunda sin derivar, MÁS la primera sin derivar por la derivada de la segunda.
$$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$
Derivar $h(x) = (2x - 2) \cdot \cos(x)$
$h'(x) = (2x - 2)' \cdot \cos(x) + (2x - 2) \cdot [\cos(x)]'$
$h'(x) = (2) \cdot \cos(x) + (2x - 2) \cdot [-\sin(x)] \quad \Rightarrow \quad \boxed{h'(x) = 2\cos(x) - (2x-2)\sin(x)}$
El Cociente (La Fracción)
La Regla: Derivada del de arriba por el de abajo sin derivar, MENOS el de arriba normal por derivada del de abajo. Todo sobre el de abajo al cuadrado.
$$ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Derivar $h(x) = \frac{-3x + 1}{\tan(x)}$
$h'(x) = \frac{(-3x+1)' \cdot \tan(x) - (-3x+1) \cdot [\tan(x)]'}{[\tan(x)]^2}$
$\boxed{h'(x) = \frac{-3\tan(x) - (-3x+1)\sec^2(x)}{\tan^2(x)}}$
🧅 NIVEL V: LA REGLA DE LA CADENA (La Mamushka)
Cuando tienes una función adentro de otra (Función Compuesta), debes derivar desde la capa exterior hacia la interior, multiplicando cada paso.
La Regla: Deriva la función que está afuera, dejando lo de adentro intacto, y luego multiplícalo por la derivada de lo de adentro.
$$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$Ejemplos:
Derivar $f(x) = \ln(3x^2 + 5x)$
Afuera está el logaritmo, adentro el polinomio.
$f'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5x} \cdot (3x^2 + 5x)' \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = \frac{6x + 5}{3x^2 + 5x}}$Derivar $f(x) = \sin(-3x + 1)$
$f'(x) = \cos(-3x + 1) \cdot (-3) \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = -3\cos(-3x + 1)}$Derivar $f(x) = e^{5x + 1}$
$f'(x) = e^{5x + 1} \cdot (5) \quad \Rightarrow \quad \boxed{f'(x) = 5e^{5x + 1}}$Derivar $f(x) = \tan^3(-2x + 3)$
¡Triple cadena! Afuera la potencia, luego la tangente, adentro el binomio.
$f(x) = [\tan(-2x + 3)]^3$
$f'(x) = 3[\tan(-2x + 3)]^2 \cdot \sec^2(-2x + 3) \cdot (-2)$
$\boxed{f'(x) = -6\tan^2(-2x + 3) \cdot \sec^2(-2x + 3)}$
🧙♂️ NIVEL VI: TÉCNICAS LEGENDARIAS
A) Derivación Logarítmica (Función elevada a Función)
Si tienes $x$ en la base y $x$ en el exponente (ej: $f(x) = g(x)^{h(x)}$), aplicamos Logaritmo Natural ($\ln$) a ambos lados para "bajar" el exponente con sus propiedades.
Derivar $g(x) = x^{x^2}$
1) Aplicamos $\ln$: $\quad \ln[g(x)] = \ln[x^{x^2}]$
2) Bajamos exponente: $\quad \ln[g(x)] = x^2 \cdot \ln(x)$
3) Derivamos ambos lados: $\quad \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = (x^2)' \cdot \ln(x) + x^2 \cdot [\ln(x)]'$
4) Operamos: $\quad \frac{g'(x)}{g(x)} = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln(x) + x$
5) Despejamos $g'(x)$ reemplazando $g(x)$: $\quad \boxed{g'(x) = [2x\ln(x) + x] \cdot x^{x^2}}$
B) Derivada de la Función Inversa
Si $f$ es biyectiva y $g$ es su inversa ($x = g(y)$), la derivada es:
$$ f'(x) = \frac{1}{g'(y)} $$
Derivar $f(x) = \arcsin(x)$
1) Hallamos $x = g(y)$: $\quad y = \arcsin(x) \Rightarrow x = \sin(y)$
2) Derivamos con respecto a $y$: $\quad x' = \cos(y)$
3) Aplicamos fórmula: $\quad f'(x) = \frac{1}{x'} = \frac{1}{\cos(y)}$
4) Reemplazamos $y$ usando $\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)}$ y recordando que $\sin(y) = x$:
$\boxed{f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$
Gabii